令和元年度(再試験) I-3-6

解説

この問題で問われていること

楕円孔を有する無限平板が遠方で一様な引張応力σを受けるとき、楕円孔の縁の点A(x軸上の長軸端)における応力成分の組合せを選ぶ問題。

解き方

① 孔の縁(自由表面)では、表面に垂直な応力とせん断応力は0。楕円孔の長軸端の応力集中係数は1+2a/b(円孔なら3)
② 点Aでσx=0、τxy=0。a>bなので1+2a/b>3 → σy>3σ
③ ②

正解が正しい理由

楕円孔の縁は外力の作用しない自由表面である。点Aは孔縁のx軸上にあり、その位置での表面の法線方向はx方向なので、法線応力σxとせん断応力τxyは自由表面の境界条件よりゼロになる(σx=0、τxy=0)。一方、y方向の引張応力は孔縁で集中し、楕円孔の長軸端(荷重方向と垂直な方向に長い側の端)での応力集中係数は1+2a/bで与えられる。a>bなのでこれは3より大きく、σy=σ(1+2a/b)>3σとなる。したがってσx=0、σy>3σ、τxy=0の②が正しい。

各選択肢について

• ① σyが3σ未満としている点が誤り。a>bのとき、点Aでの応力集中係数は1+2a/b>3であり、σy>3σである(a=bの円孔の場合にちょうど3σ)。
• ② 点Aは自由表面上でσx=0、τxy=0、応力集中によりσy=σ(1+2a/b)>3σとなるため、これが正答。
• ③ τxyが正としている点が誤り。点Aは対称軸(x軸)上にあり、かつ自由表面なのでせん断応力τxyは0である。
• ④ σxが正、σyが3σ未満としている点が誤り。自由表面の法線応力σxは0であり、σyは3σを超える。
• ⑤ σxが正としている点が誤り。点Aでは孔縁の法線方向であるx方向の応力σxが0となる(自由表面の境界条件)。

覚えるべきポイント

外力の作用しない自由表面(孔縁など)では、表面に垂直な方向の垂直応力とせん断応力は0になる。楕円孔の長軸端(荷重に垂直な方向に長い側)での応力集中係数は1+2a/bで、円孔(a=b)なら3、扁平な孔(a>b)ほど大きくなる。この係数はInglisの解として知られる。