令和2年度 I-3-1

解説

この問題で問われていること

3次元直交座標系におけるベクトル場V=(x, x²y+yz², z³)の、点(1,3,2)での発散divVを求める問題。

解き方

① divV=∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z はスカラー(1つの数)。ベクトルの形の①④⑤は最初から外れる
② ∂x/∂x=1、∂(x²y+yz²)/∂y=x²+z²、∂z³/∂z=3z² → 1+x²+4z² に x=1、z=2 を代入して 1+1+16=18
③ ②

正解が正しい理由

divVの各項を計算すると、∂Vx/∂x=∂x/∂x=1、∂Vy/∂y=∂(x²y+yz²)/∂y=x²+z²、∂Vz/∂z=∂z³/∂z=3z²となる。これらを合計するとdivV=1+x²+z²+3z²=1+x²+4z²となる。点(1,3,2)(x=1,y=3,z=2)を代入すると、divV=1+1²+4×2²=1+1+16=18となる。したがって②が正しい。

各選択肢について

• ① (-12,0,6)は、発散divVが本来スカラー量である(ベクトルではない)ことを踏まえていない誤った形式の値である。
• ② 各項の偏微分1+x²+z²+3z²に点(1,3,2)を代入して得られる18が正しい計算結果であり、これが正答。
• ③ 24は、代入計算やyの値(3)を誤って使ってしまった場合などに生じやすい値であり、正しい計算結果18とは異なる。
• ④ (1,15,8)も、発散がスカラー量であることを踏まえていない誤った形式の値である。
• ⑤ (1,5,12)も同様に、発散がベクトルではなくスカラー量として求められることを踏まえていない誤った形式の値である。

覚えるべきポイント

ベクトル場の発散divVは、各成分をそれぞれ対応する変数で偏微分して合計したスカラー量である(divV=∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z)。回転(rot)がベクトル量であるのに対し、発散(div)はスカラー量になる点を区別しておく。