出典：公益社団法人 日本技術士会「技術士第一次試験 過去問題」
三辺の長さの比がAB:BC:CA=3:4:5の三角形ABCについて、内心と外心の面積座標(重心座標)を求める問題。3-4-5の直角三角形であることに気づき、内心・外心それぞれの性質を用いる必要がある。
三辺の長さの比がAB:BC:CA=3:4:5である△ABC(3-4-5の直角三角形)について、内心と外心それぞれの面積座標(SA/S, SB/S, SC/S)を求める問題。
① 面積座標は3つの値の合計が1。内心の面積座標=各頂点の対辺の長さの比。直角三角形の外心は斜辺の中点
② 3²+4²=5²なのでBが直角、斜辺はCA。内心: 対辺4:5:3を12で割って(1/3, 5/12, 1/4)。外心: CAの中点(1/2, 0, 1/2)
③ ④。(1/3, 1/3, 1/3)は重心
AB=3, BC=4, CA=5とすると3²+4²=5²が成り立つため、△ABCはCAを斜辺とする直角三角形であり、直角はBにある。内心の面積座標は、頂点Aの対辺BC(=4)、頂点Bの対辺CA(=5)、頂点Cの対辺AB(=3)の比(4:5:3)を正規化したものであり、4+5+3=12で割ると(4/12, 5/12, 3/12)=(1/3, 5/12, 1/4)となる。外心は直角三角形では斜辺の中点に一致し、斜辺CAの中点はAとCの重みが等しくBの重みが0の点であるため、面積座標は(1/2, 0, 1/2)となる。したがって内心=(1/3, 5/12, 1/4)、外心=(1/2, 0, 1/2)の組合せである④が正しい。
■ 内心の面積座標が対辺の長さの比になる理由
内心は、3つの辺までの距離が全て等しい点(内接円の中心)です。この距離をrとすると、△PBCの面積はBC×r÷2、△PCAはCA×r÷2、△PABはAB×r÷2で、どれも「辺の長さ×同じr÷2」です。そのため面積の比S_A:S_B:S_Cは、BC:CA:AB=4:5:3になり、合計12で割ると(4/12, 5/12, 3/12)です。
■ 直角三角形の外心
3:4:5の三角形は、3²+4²=5²なので直角三角形です(直角はB)。直角三角形の外心(3つの頂点から等距離の点)は、斜辺CAの中点です。外心が辺CA上にあるので△PCAはつぶれて面積0(S_B=0)、中点なので残りの2つの面積は等しく(S_A=S_C=1/2)なります。
内心の面積座標は各頂点の対辺の長さの比を正規化したものになる。直角三角形の外心は直角の対辺(斜辺)の中点に一致するという性質を利用すると、外心の面積座標を簡単に求められる。三辺の比が3:4:5であることに気づき、直角三角形であることを見抜くのがこの問題の鍵である。
キーワード: 面積座標、重心座標、内心、外心、解析