令和2年度 I-3-5

解説

この問題で問われていること

水平方向(A)、斜め45度方向(B)、垂直方向(C)にそれぞれ単振動するばね質点系(ばね定数k・質量mは共通)について、固有振動数fA, fB, fCの大小関係を求める問題。

解き方

① ばね質点系の固有振動数f=(1/2π)√(k/m)は、ばね定数と質量だけで決まる。重力はつり合いの位置をずらすだけ
② A・B・Cとも同じkとmなので、ばねの向きによらず同じ
③ fA=fB=fC(①)

正解が正しい理由

ばね質点系の固有振動数はf=(1/2π)√(k/m)で表され、これはばね定数kと質量mだけで決まり、ばねの向き(水平・斜め・垂直)には依存しない。重力は斜めや垂直の系では釣り合いの位置をずらす効果を持つが、その位置からの変位に対する復元力の大きさ(実効的なばね定数)自体は変化しないため、固有振動数は変わらない。したがって、A, B, Cのいずれも同じ固有振動数となり、fA=fB=fCとなる①が正しい。

各選択肢について

• ① 固有振動数f=(1/2π)√(k/m)はばねの向きに依存せず、水平・斜め・垂直のいずれの系でも同じ値になるため、fA=fB=fCとなり、これが正答。
• ② fA>fB>fCの順は、ばねの向きによって固有振動数が変化するという誤った前提に基づいており、実際には向きによらず固有振動数は変わらないため誤り。
• ③ fA<fB<fCの順も同様に、向きによって固有振動数が変わるという誤った前提に基づいており誤り。
• ④ fA=fC>fBは、AとCが等しいという点は結果的に正しいが、Bだけ異なるとしている点が誤りである(実際にはA, B, Cすべてが等しい)。
• ⑤ fA=fC<fBも同様に、Bだけ異なるとしている点が誤りである。

覚えるべきポイント

単振動の固有振動数f=(1/2π)√(k/m)は、ばね定数と質量だけで決まり、重力の有無やばねの設置方向(水平・斜め・垂直)には影響されない。重力は釣り合いの位置(振動の中心)をずらすだけで、その位置を中心とした振動の速さ(固有振動数)自体は変えないという点がこの問題の重要なポイントである。