令和2年度 I-3-6

解説

この問題で問われていること

円管を流れる非圧縮の完全流体について、点a(圧力pa・流速va・断面積Aa)と点b(圧力pb・流速vb・断面積Ab)の関係から、流速vbを表す式を求める問題。

解き方

① 連続の式Aa×va=Ab×vbと、ベルヌーイの定理pa+(1/2)ρva²=pb+(1/2)ρvb²を連立する
② va=(Ab/Aa)vbを代入: vb²{1−(Ab/Aa)²}=2(pa−pb)/ρ
③ vb=√(2(pa−pb)/ρ)÷√(1−(Ab/Aa)²)(⑤)

正解が正しい理由

連続の式より、Aa・va=Ab・vbが成り立つため、va=(Ab/Aa)vbと表せる。粘性による損失がない場合のベルヌーイの定理(高さの変化なし)より、pa+(1/2)ρva²=pb+(1/2)ρvb²が成り立つ。これを整理するとvb²-va²=2(pa-pb)/ρとなり、va=(Ab/Aa)vbを代入するとvb²[1-(Ab/Aa)²]=2(pa-pb)/ρとなる。これをvbについて解くと、vb=(1/√(1-(Ab/Aa)²))×√(2(pa-pb)/ρ)となる。したがって⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 連続の式
水は縮まない(非圧縮)ので、管のどこでも、1秒間に通過する水の体積は同じです。1秒間に通過する体積は「断面積×流速」なので、Aa×va=Ab×vbです。管が細くなると(Ab<Aa)、その分だけ流れが速くなります。

■ ベルヌーイの定理
損失がない流れでは、「圧力+(1/2)×密度×流速²」が、流れに沿ってどこでも同じ値になります(高さが同じ場合)。流れが速くなった場所では、その分だけ圧力が下がります。そのため、細い部分bではpb<paです。

各選択肢について

• ① vb=(Ab/Aa)√((pb-pa)/ρ)は、連続の式とベルヌーイの定理を正しく組み合わせた結果ではなく、断面積の比の掛け方や圧力差の符号が誤っている。
• ② vb=(Aa/Ab)√((pa-pb)/ρ)も、断面積の比の掛け方(逆数の関係)や式の導出過程が正しい計算結果とは異なる。
• ③ √(2(pb-pa)/ρ)の部分で圧力差の符号が逆になっている点が誤り。管が細くなる(Ab<Aa)場合、流速が増加しpbはpaより小さくなるため、正しくはpa-pbを用いる必要がある。
• ④ 1-Ab/Aaという形では、断面積の比の2乗の関係(連続の式を2乗した関係)を正しく反映しておらず誤り。
• ⑤ 連続の式Aava=Abvbとベルヌーイの定理を連立させて導かれるvb=(1/√(1-(Ab/Aa)²))×√(2(pa-pb)/ρ)が正しい計算結果であり、これが正答。

覚えるべきポイント

断面積が変化する管の流れの問題では、連続の式(流量保存: Aava=Abvb)とベルヌーイの定理(エネルギー保存)を連立させて解く。連続の式で得られる比の関係を2乗の形でベルヌーイの式に代入し、目的の変数について整理するという手順を丁寧に踏むことが計算のポイントである。