令和3年度 I-3-1

解説

この問題で問われていること

3次元直交座標系におけるベクトル場V=(y+z, x²+y²+z², z+2y)の、点(2,3,1)での回転rotVを求める問題。

解き方

① rotV の各成分を式どおりに偏微分し、最後に点の座標を代入する。答えはベクトルなので①③は外れる
② i: ∂(z+2y)/∂y − ∂(x²+y²+z²)/∂z = 2 − 2z = 0、j: ∂(y+z)/∂z − ∂(z+2y)/∂x = 1 − 0 = 1、k: ∂(x²+y²+z²)/∂x − ∂(y+z)/∂y = 2x − 1 = 3(x=2、z=1)
③ (0,1,3)(④)

正解が正しい理由

rotVの各成分を計算すると、i成分は∂Vz/∂y-∂Vy/∂z=2-2z、j成分は∂Vx/∂z-∂Vz/∂x=1-0=1、k成分は∂Vy/∂x-∂Vx/∂y=2x-1となる。点(2,3,1)(x=2,y=3,z=1)を代入すると、i成分=2-2(1)=0、j成分=1、k成分=2(2)-1=3となり、rotV=(0,1,3)となる。したがって④が正しい。

各選択肢について

• ① 7は、rotVの各成分の値を単純に足し合わせるなど誤った計算をした場合に生じやすい値であり、正しいベクトル(0,1,3)とは一致しない。
• ② (0,6,1)は、j成分とk成分の計算を誤った場合に生じやすい値であり、正しい計算結果(0,1,3)とは異なる。
• ③ 4も、rotVの成分を誤って合計した場合に生じやすい値であり、正しいベクトルの形とは異なる。
• ④ 各成分の偏微分をそれぞれ計算し、点(2,3,1)を代入して得られる(0,1,3)が正しい計算結果であり、これが正答。
• ⑤ (4,14,7)は、偏微分の計算や代入を誤った場合に生じやすい値であり、正しい計算結果(0,1,3)とは大きく異なる。

覚えるべきポイント

ベクトル場の回転rotVは、定義式に従って各成分ごとに偏微分を計算し、最後に指定された点の座標を代入する。各成分の偏微分をどの変数について行うか(添字の対応関係)を混同しないよう、定義式を1つずつ丁寧に確認しながら計算することが重要である。