令和3年度 I-3-5

解説

この問題で問われていること

上端固定・ばね定数kのばねに質量mの質点をつり下げ、つり合い位置を中心に振幅aで単振動させたとき、質点が最も下の位置(つり合い位置からaだけ下)にきた瞬間に、ばねに蓄えられている弾性エネルギーを求める問題。

解き方

① ばねのエネルギー=(1/2)k×(自然長からの伸び)²。つり合い位置で、ばねはすでにmg/k伸びている
② 最も下の位置での伸び=mg/k+a
③ (1/2)k(mg/k+a)²(④)

正解が正しい理由

質点をつり下げたときのつり合い位置では、ばねの復元力mg/kに相当する分だけ、ばねは自然長からmg/k伸びている(mg=k×伸びより)。質点が最も下の位置にきたとき、つり合い位置からさらにaだけ下がっているため、このときのばねの自然長からの伸びの合計はmg/k+aとなる。ばねに蓄えられる弾性エネルギーは(1/2)×k×(伸び)²で計算できるため、(1/2)k(mg/k+a)²となる。したがって④が正しい。

この問題で必要な基礎

■ ばねの伸びは「自然長」から測る
フックの法則(ばねの力=ばね定数k×伸び)の「伸び」は、何もつるしていないときの長さ(自然長)からの伸びです。

■ つり合い位置での伸び
質点が静止しているつり合い位置では、ばねが上に引く力k×(伸び)と、重力mgがつり合っています。そのため、つり合い位置でばねはすでに mg/k だけ伸びています。問題の振幅aは、このつり合い位置からの振れ幅です。

■ ばねのエネルギー
ばねに蓄えられるエネルギーは、(1/2)×k×(自然長からの伸び)² です。

各選択肢について

• ① 0は、ばねが伸びていない(自然長の)状態でのエネルギーであり、質点をつり下げて振動させている状況とは合わないため誤り。
• ② (1/2)ka²は、振幅aだけの伸びに対応するエネルギーであり、つり合い位置自体での初期の伸びmg/k分を考慮していないため誤り。
• ③ (1/2)ka²-mgaは、位置エネルギーの変化などを誤って組み合わせた場合に生じやすい式であり、ばねの弾性エネルギーの定義(伸びの2乗に比例)とは異なる。
• ④ 最も下の位置でのばねの自然長からの伸びがmg/k+aであることから、弾性エネルギー(1/2)k(mg/k+a)²が正しく導かれており、これが正答。
• ⑤ (1/2)ka²+mgaも、弾性エネルギーの定義(伸びの2乗に比例する式)とは異なる形であり誤り。

覚えるべきポイント

つり下げられたばねの「つり合い位置」は、自然長からmg/kだけ伸びた位置にあるという点を見落とさないようにする。質点の位置(つり合い位置からの変位)だけでなく、自然長からの伸びの合計(mg/k+変位)を使ってばねの弾性エネルギー(1/2)k(伸び)²を計算する必要がある。