令和5年度 I-1-6

解説

この問題で問われていること

2つのデータの関係を調べる際に用いる相関係数r(ピアソンの積率相関係数)の性質に関する5つの記述のうち、最も適切なものを選ぶ問題。

解き方

① 相関係数rは−1〜1(両端も含む)。|r|が1に近いほど点が直線に並ぶ。r=0は「直線的な関係がない」だけで独立とは限らない。決定係数はr²。相関は因果関係を表さない
② ①は両端を除いている、③独立と同じにしている、④絶対値としている、⑤因果関係が変わるとしている
③ ②

正解が正しい理由

相関係数rの絶対値が1に近づくほど、散布図上で2つのデータの並びは直線に近づく(強い線形関係を示す)という性質があり、rが0から1に近づく場合についてこの傾向を述べた②の記述は、相関係数と直線関係の対応関係を正しく捉えている。他の選択肢はいずれも相関係数に関するよくある誤解を含んでいるため、②が最も適切な記述である。

各選択肢について

• ① 相関係数は-1≤r≤1で、完全な正/負の相関ではr=1・r=-1もとり得るため、「つねに-1<r<1」と境界値を除外する記述は誤り。
• ② 相関係数が0から1に近づく(絶対値が大きくなる)ほど、散布図上で2つのデータがより直線的な関係に近づくという記述は、相関係数の基本的な性質と一致しており、これが正答。
• ③ 相関係数0は「線形の」相関がないことを示すに過ぎず、U字型等の非線形関係があっても0になり得るため、「相関係数0なら独立」は誤り(無相関は独立の必要条件だが十分条件ではない)。
• ④ 単回帰分析における決定係数は相関係数の2乗(r²)であり、相関係数の絶対値(|r|)ではないため誤り。
• ⑤ 相関係数は線形関係の強さを表す指標にすぎず、その大きさの変化が背後の因果関係を変化させるわけではない(相関は因果関係を直接示さない)ため誤り。

覚えるべきポイント

相関係数に関するよくある誤解として、「無相関(r=0)ならば独立」と「相関係数が高い(または高くなる)ならば因果関係がある(または強くなる)」という2点は特に注意が必要である。相関係数はあくまで線形関係の強さの指標であり、非線形な関係や因果関係の有無を直接示すものではない。