令和6年度 I-3-2

解説

この問題で問われていること

原点を始点とするベクトルa, b(|b|=1)があるとき、aの終点(点A)からbが定める直線(原点を通りbの方向を向く直線)への垂線を表すベクトルとして最も適切なものを選ぶ問題。

解き方

① |b|=1なら、aのb方向への正射影(垂線の足)は(a・b)b。aの終点から垂線の足へのベクトル=(垂線の足)−a
② (b・a)b−a。④(b・a)bは原点から垂線の足までで、垂線そのものではない
③ ②

正解が正しい理由

bが単位ベクトル(|b|=1)であるため、aのb方向への正射影ベクトルは(a・b)bで表される。この正射影ベクトルの終点が、点Aからbが定める直線に下ろした垂線の足(直線上の最近点)になる。垂線を表すベクトルは、点Aから見て垂線の足へ向かうベクトルなので、(垂線の足の位置ベクトル)-(aの位置ベクトル)=(a・b)b-a=(b・a)b-aとなる。したがって②が正しい。

各選択肢について

• ① a×bはaとbの両方に垂直な(3次元空間で直線bにも垂直だが、aの終点を通るとは限らない)ベクトルであり、aの終点からbが定める直線への垂線を表すベクトルとは異なるため誤り。
• ② aのb方向への正射影(b・a)bと、aの位置ベクトルaとの差(b・a)b-aが、aの終点から直線bへの垂線を表すベクトルの定義と一致しており、これが正答。
• ③ b-aは単にb, aの終点を結ぶベクトルの一つに過ぎず、直線bへの垂線(直交条件)を満たすとは限らないため誤り。
• ④ (b・a)bはaのb方向への正射影ベクトル(原点から垂線の足までのベクトル)であり、aの終点から垂線の足までを表すベクトル(垂線そのもの)ではないため誤り。
• ⑤ a×b-aは外積を含み、aの終点からbが定める直線へ下ろした垂線の幾何学的な定義とは対応しないため誤り。

覚えるべきポイント

単位ベクトルbが定める直線上へのベクトルaの正射影は(a・b)bで表される。ある点から直線への垂線ベクトルを求めるには「垂線の足の位置ベクトル-その点の位置ベクトル」という形で考えると求めやすい。