令和7年度 I-1-4

解説

この問題で問われていること

弾性論の2次元近似における「平面応力状態」と「平面ひずみ状態」それぞれの正しい定義を選ぶ問題。

解き方

① 薄い板 → 板厚方向の「応力」が0 → 平面応力状態。長い柱 → 長さ方向の「ひずみ」が0 → 平面ひずみ状態
② 「薄い板・応力・平面応力」「長い柱・ひずみ・平面ひずみ」の組がそろっている選択肢を探す。②⑤は長い柱で「応力」、③は呼び名が逆、④は薄い板で「ひずみ」
③ ①

正解が正しい理由

①は、非常に薄い平板が面内荷重だけを受ける場合である。板の表裏面は自由表面(外力が作用しない)で、板が薄いため、板厚方向の応力成分は無視でき、これを平面応力状態という。一方、平面ひずみ状態は、長さ方向に十分長く、形状も荷重も長さ方向に一様な物体(問題文では、側面に長さ方向に一様な荷重を受ける非常に長い柱)について、断面内の変形が長さ方向の位置によらないため、長さ方向のひずみ成分を無視できる(ε_z=0とみなす)として、断面の2次元問題に置き換える近似である。このとき長さ方向の応力成分は0ではなく、ポアソン比を通じて生じる。したがって、薄い平板は応力成分を無視して平面応力状態、長い柱はひずみ成分を無視して平面ひずみ状態、という対応になっている①が正しい。

各選択肢について

• ① 薄い平板・面内荷重において、応力の板厚方向成分を無視できることを平面応力状態と呼ぶ、という記述が正確であり、これが正答。
• ② 長い柱の場合に無視できるのは「応力」ではなく「ひずみ」の柱長さ方向成分である。応力と述べている点が誤り(ひずみが正しい)。
• ③ 長い柱でひずみの柱長さ方向成分を無視できる状態は「平面応力状態」ではなく「平面ひずみ状態」と呼ぶ。呼び名が逆になっている点が誤り。
• ④ 薄い平板で面内荷重を受ける場合に無視できるのは「ひずみ」ではなく「応力」の板厚方向成分である。また、この状態は「平面ひずみ状態」ではなく「平面応力状態」と呼ぶため、二重に誤り。
• ⑤ 長い柱の場合、無視できるのは応力ではなくひずみの柱長さ方向成分であり、また呼び名も「平面応力状態」ではなく「平面ひずみ状態」が正しいため、二重に誤り。

覚えるべきポイント

平面応力状態=薄い平板・面内荷重で、板厚方向の「応力」成分を無視する。平面ひずみ状態=長さ方向に十分長く、形状・荷重が一様な物体で、長さ方向の「ひずみ」成分を無視する(このとき長さ方向の応力は生じる)。「応力」と「ひずみ」、「〜応力状態」と「〜ひずみ状態」の取り違えが典型的な誤答パターン。