令和7年度 I-3-3

解説

この問題で問われていること

関数y=f(x)をaからcの区間で定積分した値を、等間隔(幅h)に並んだ3点a,b,cを用いてシンプソン法で近似する際の公式を選ぶ問題。

解き方

① シンプソン法: (h/3)(f(a)+4f(b)+f(c))
② 忘れたら、f(x)=1を入れて幅2hになるかで確認: ⑤は(h/3)×6=2h(③はh、④は1.5h)。f(b)を使わない①②は2次近似にならない
③ ⑤

正解が正しい理由

シンプソン法(2次のニュートン・コーツの閉公式)では、区間[a,c]をa,b,cの3点(bは中点)で2次関数近似し、∫[a,c]f(x)dx≈(h/3)(f(a)+4f(b)+f(c))という式で近似値を求める。これは台形公式(1次近似)より高精度な公式として広く知られており、⑤の式と一致する。

この問題で必要な基礎

■ 定積分と近似
aからcまでの定積分は、曲線y=f(x)とx軸の間(aからcまで)の面積です。数値積分では、曲線を扱いやすい線に置き換えてこの面積を近似します。台形公式は直線(2点)、シンプソン法は放物線(3点a, b, c)で置き換えます。

各選択肢について

• ① (h/2)(f(a)+f(c))は台形公式(1次のニュートン・コーツの公式)であり、中点bの値f(b)を用いないため、シンプソン法の公式ではない。
• ② h(f(a)+f(c))は係数(h/2やh/3)が抜け落ちた誤りの式であり、数値積分の公式として成立しない。
• ③ (h/6)(f(a)+4f(b)+f(c))はf(b)の重みの部分は正しいが係数がh/6となっており、シンプソン法の正しい係数h/3とは異なる。
• ④ (h/4)(f(a)+4f(b)+f(c))は係数がh/4となっており、シンプソン法の正しい係数h/3とは異なる。
• ⑤ (h/3)(f(a)+4f(b)+f(c))がシンプソン法(2次のニュートン・コーツの閉公式)の正しい式であり、これが正答。

覚えるべきポイント

シンプソン法の公式(h/3)(f(a)+4f(b)+f(c))は、台形公式(h/2)(f(a)+f(c))と混同しやすいので、係数がh/3であること、中点f(b)に4倍の重みが付くことをセットで覚えておく。