令和7年度 I-3-4

解説

この問題で問われていること

全長5L(左端Aから長さL、右端Bまで長さ4L)の両端固定された一様な弾性体の棒の、左端からLの位置Cに力Pが作用するとき、支持点A・Bに生じる反力P_A、P_Bを求める問題。

解き方

① 両端固定の棒の反力は「力の点から遠い側の長さ÷全長」の割合で分かれ、向きは力と逆
② A側: 4L÷5L=4/5、B側: L÷5L=1/5
③ P_A=−4P/5、P_B=−P/5(②)

正解が正しい理由

力の釣り合いよりP_A+P_B+P=0。区間AC(長さL)には軸力P_A、区間CB(長さ4L)には軸力P_A+Pが生じる。棒は両端固定で全体の伸びが0になる変形適合条件より、P_A×L+(P_A+P)×4L=0。これを整理すると5L×P_A=-4L×Pとなり、P_A=-4P/5が得られる。力の釣り合い式からP_B=-P-P_A=-P+4P/5=-P/5となる。したがって②が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 区間ごとの伸び
棒のある区間の伸びは、δ=(その区間を伝わる力)×(区間の長さ)÷(ヤング率×断面積)で求められます。この問題では材質も断面積も棒全体で同じなので、「力×長さ」だけを比べれば十分です。

■ 変形適合条件
両端が固定されているので、棒全体の長さは変わりません。つまり区間ACの伸びと区間CBの伸びを足すと0になります(一方が伸びた分、もう一方が縮む)。正解の理由にあるP_A×L+(P_A+P)×4L=0は、この条件を「力×長さ」で書いたものです。点Cでは外から力Pが加わるので、区間CBを伝わる力は区間ACより P だけ変わります。

各選択肢について

• ① P_A=-P,P_B=0は、あたかもB端の拘束がなくA端だけで力を全て受け止めたかのような結果であり、両端固定であることを反映できていない誤り。
• ② 変形適合条件(全体の伸びが0)と力の釣り合いから導かれるP_A=-4P/5、P_B=-1/5Pの組合せが正しく、これが正答。
• ③ P_A=-1/2P,P_B=-1/2Pは、力の作用点Cが棒の中央にあると誤って仮定した場合に生じる値であり、実際にはCは左端寄り(距離Lと4Lで非対称)にあるため誤り。
• ④ P_A=-1/5P,P_B=-4/5Pは、AとBの反力の割り当てが正答②の逆になっている誤り(区間の長さと反力の対応関係を取り違えている)。
• ⑤ P_A=0,P_B=-Pは、あたかもA端の拘束がなくB端だけで力を全て受け止めたかのような結果であり、両端固定であることを反映できていない誤り。

覚えるべきポイント

両端固定棒に軸力が作用する不静定問題では、(1)力の釣り合い式、(2)全体の伸びが0になる変形適合条件、の2式を連立させて解く。反力は力の作用点に近い側ほど大きな絶対値になる(本問では作用点に近いA側の反力が4/5P、遠いB側が1/5P)という直感とも整合する。