平成29年度 I-3-1

解説

この問題で問われていること

2階導関数d²u/dx²の点x_iにおける差分表現を、格子幅hと格子点の値u_{i-1}、u_i、u_{i+1}を用いて表した式を選ぶ問題。

解き方

① 差分の形: 1階=(u(i+1)−u(i))/h など、2階=(u(i+1)−2u(i)+u(i−1))/h²。2階は分母がh²、分子の中央の係数が−2
② 分母h²は④⑤。中央が−2なのは⑤
③ ⑤

正解が正しい理由

テイラー展開より、u_{i+1}=u_i+hu'+(h²/2)u''+(h³/6)u'''+…、u_{i−1}=u_i−hu'+(h²/2)u''−(h³/6)u'''+…。両式を足すと、u_{i+1}+u_{i−1}=2u_i+h²u''+O(h⁴)となるので、u''≒(u_{i+1}−2u_i+u_{i−1})/h²(2階中心差分)が得られる。したがって⑤が正しい。

各選択肢について

• ① (u_{i+1}−u_i)/hは、1階導関数の前進差分であり、2階導関数ではない。
• ② (u_{i+1}+u_i)/hは、差分ではなく和であり、導関数の近似式ではない。
• ③ 分母が2hとなっている点が誤り。2階導関数の分母はh²であり、分子(u_{i+1}−2u_i+u_{i−1})に対応する。
• ④ 分子が(u_{i+1}+2u_i+u_{i−1})と、符号が誤っている。2階の差分は中央の係数が−2となる。
• ⑤ (u_{i+1}−2u_i+u_{i−1})/h²は、テイラー展開から導かれる2階導関数の中心差分であり、これが正答。

覚えるべきポイント

2階導関数の中心差分はu''≒(u_{i+1}−2u_i+u_{i−1})/h²。1階の中心差分は(u_{i+1}−u_{i−1})/(2h)。テイラー展開のu_{i+1}とu_{i−1}を足し合わせて1階微分の項を消すことで導出できる。