令和4年度 I-3-1

解説

この問題で問われていること

格子点iにおける導関数df/dxの差分表現として与えられた5つの式のうち、誤っているものを選ぶ問題。

解き方

① 1階微分の差分は分母がΔ(または2Δ)。分母がΔ²で f(i+1)−2f(i)+f(i−1) の形は2階微分(d²f/dx²)の中心差分
② ①前進、③中心、⑤後退、②は2次精度の後退差分で、いずれも1階微分
③ ④

正解が正しい理由

(f_{i+1}-2f_i+f_{i-1})/Δ²は、1階導関数df/dxではなく2階導関数d²f/dx²(中心差分)の標準的な近似式である。したがって、これをdf/dxの差分表現として挙げている④は誤りであり、これが正答である。

各選択肢について

• ① (f_{i+1}-f_i)/Δは、df/dxの前進差分による1次精度の近似式として正しい。
• ② (3f_i-4f_{i-1}+f_{i-2})/(2Δ)は、df/dxの後退差分による2次精度の近似式として正しい。
• ③ (f_{i+1}-f_{i-1})/(2Δ)は、df/dxの中心差分による2次精度の近似式として正しい。
• ④ (f_{i+1}-2f_i+f_{i-1})/Δ²は、1階導関数df/dxではなく2階導関数d²f/dx²の中心差分近似式であるため、df/dxの差分表現として挙げるのは誤りであり、これが正答。
• ⑤ (f_i-f_{i-1})/Δは、df/dxの後退差分による1次精度の近似式として正しい。

覚えるべきポイント

(f_{i+1}-2f_i+f_{i-1})/Δ²という形は2階導関数の中心差分近似の代表的な式であり、1階導関数の差分近似(前進・後退・中心差分)とは分子の形が異なる(1階は差、2階は2次の差分)点を区別して覚えておく。