出典：公益社団法人 日本技術士会「技術士第一次試験 過去問題」
両端がヒンジの2本の棒部材ACとBC(AC長さL、断面積A1、BCの断面積A2、ヤング率E)が、点Cで鉛直荷重Pを受けるときの、各部材の伸びの比δ1/δ2を求める問題。
AC(水平から30°)とBC(水平から60°)からなる2部材トラスの点Cに鉛直荷重Pが作用するとき、部材AC・BCの伸びδ1、δ2の比を求める問題。
① 2本の棒が点Cで直角なら、荷重Pを棒の方向に分けるだけでよい: 軸力=P×cos(棒と鉛直のなす角)。伸びδ=NL/(EA)
② N₁=P×cos60°=P/2、N₂=P×cos30°=√3P/2。長さはL、L/√3 → 軸力×長さはどちらも(P/2)L
③ 伸びの比は断面積の逆比で、δ₁/δ₂=A₂/A₁(③)
点Cでの力の釣合いより、ACの軸力をN₁、BCの軸力をN₂(ともに引張)とすると、水平方向:−N₁cos30°+N₂cos60°=0、鉛直方向:N₁sin30°+N₂sin60°=P。第1式より N₂=√3N₁。これを第2式に代入すると、N₁/2+(√3N₁)(√3/2)=2N₁=P となり、N₁=P/2、N₂=√3P/2。部材の長さは、ACがL、ACとBCは点Cで直角なので、BC=AC・tan30°=L/√3。伸びはδ=NL/(EA)より、δ₁=(P/2)L/(EA₁)、δ₂=(√3P/2)(L/√3)/(EA₂)=(PL/2)/(EA₂)。よってδ₁/δ₂=A₂/A₁となり、③が正しい。
■ 30°と60°の三角比
cos30°=√3/2、sin30°=1/2、cos60°=1/2、sin60°=√3/2、tan30°=1/√3です。
■ 棒の伸び
棒の伸びは、δ=(軸力N)×(長さ)÷(ヤング係数E×断面積A)で求められます。2本の棒でEは同じなので、比べるのは「軸力×長さ÷断面積」です。
■ BCの長さ
ACとBCは点Cで直角に交わっているので、三角形ABCは直角三角形です。ACの長さがLで、角Aが30°なので、BC=AC×tan30°=L/√3です。
2部材トラスでは、節点での力の釣合いから軸力を求め、伸びδ=NL/(EA)で各部材の伸びを計算する。軸力比と部材長さの比を正しく求め、断面積の逆比(伸びは断面積に反比例)に注意する。
キーワード: トラス、軸力、伸び、ヤング率、力の釣合い、解析