平成30年度 I-1-1

解説

この問題で問われていること

システムA(0.950の要素、X並列2個、0.950の要素の直列)とシステムB(X3個の直列)の信頼度が同等であるとき、そのシステム全体の信頼度に最も近い値を求める問題。

解き方

① 直列=信頼度の積、並列=1−(1−X)²。方程式を解かなくても、Aは0.950を2つ直列に含むので0.950²=0.9025を超えられない
② ④⑤は除外。Xが0.93以上なら並列部分はほぼ1(0.93でも0.995)なので、Aはほぼ0.90(解くとX≒0.966、X³≒0.901)
③ 0.901(③)。求めるのはXではなくシステム全体の信頼度

正解が正しい理由

システムAの信頼度は 0.950×{1−(1−X)²}×0.950=0.9025(2X−X²)。システムBの信頼度はX³。両者が等しいので 0.9025(2X−X²)=X³。X>0より両辺をXで割ると 0.9025(2−X)=X²、すなわちX²+0.9025X−1.805=0。これを解くとX≒0.966。システム全体の信頼度はX³=0.966³≒0.901となり、③が最も近い。

この問題で必要な基礎

■ 直列と並列の信頼度
・直列(1列につながった部分)は、全部が正常でないと動かないので、各信頼度の掛け算です。システムBはX×X×X=X³です。
・並列(上下に分かれた部分)は、どちらか一方が正常ならよいので、「両方とも故障する」とき以外は動きます。1個が故障する確率は1−Xなので、並列部分の信頼度は1−(1−X)²です。

■ 2次方程式の解き方
X²+0.9025X−1.805=0のような式は、解の公式 X={−b±√(b²−4ac)}÷2a(ここではa=1, b=0.9025, c=−1.805)で解けます。信頼度は0〜1の値なので、プラスの解だけを使います。

各選択肢について

• ① 0.835は、Xを求める途中の計算誤りなどで生じる値。X=0.966のとき、システムBの信頼度X³は約0.901である。
• ② 0.857は、システム全体の信頼度(X³≒0.901)と一致しない。
• ③ X≒0.966のとき、システムBの信頼度X³≒0.901であり、システムAの信頼度と等しくなる。これが正答。
• ④ 0.945は、要素の信頼度Xに近い値(X=0.966付近)ではあるが、システム全体の信頼度X³ではない。
• ⑤ 0.966は、要素の信頼度Xそのものの値であり、システム全体の信頼度(X³≒0.901)ではない。問われているのはシステム全体の信頼度である。

覚えるべきポイント

直列系の信頼度は各要素の信頼度の積、並列系の信頼度は1−Π(1−R)で計算する。本問は、二次方程式を解いて要素の信頼度Xを求めた後、問われているのが要素ではなくシステム全体の信頼度(X³)である点に注意する。