平成30年度 I-3-1

解説

この問題で問われていること

一次関数f(x)=ax+bの∫[-1,1]f(x)dxを表す計算式のうち、最も不適切なものを選ぶ問題。

解き方

① 正しい値: ∫[−1,1](ax+b)dx=2b。各式に f(−1)=−a+b、f(0)=b、f(1)=a+b を入れて2bになるか見る
② ①=(1/4)(−a+b)+b+(1/4)(a+b)=b/2+b=3b/2 で2bにならない。②③④⑤はどれも2b
③ ①

正解が正しい理由

厳密な値は∫[-1,1](ax+b)dx=[ax²/2+bx]=2b。各選択肢にf(−1)=−a+b、f(0)=b、f(1)=a+bを代入して確かめる。①(1/4)f(−1)+f(0)+(1/4)f(1)=(1/4)(−a+b)+b+(1/4)(a+b)=b/2+b=3b/2となり、2bと一致しない。したがって①が最も不適切である。

各選択肢について

• ① 計算すると(1/4)(−a+b)+b+(1/4)(a+b)=3b/2であり、厳密値2bと一致しないため不適切であり、これが正答。
• ② (1/2)(−a+b)+b+(1/2)(a+b)=b+b=2bとなり、厳密値と一致するため適切。
• ③ シンプソンの1/3公式に相当し、(1/3)(−a+b)+(4/3)b+(1/3)(a+b)=2bと厳密値に一致するため適切。
• ④ 台形公式に相当し、f(−1)+f(1)=(−a+b)+(a+b)=2bで厳密値に一致するため適切。
• ⑤ 中点則に相当し、2f(0)=2bで厳密値に一致するため適切。

覚えるべきポイント

1次関数の積分は、台形公式・中点則・シンプソン公式のいずれでも厳密に一致する(これらの数値積分公式は少なくとも1次以下の多項式を厳密に積分できる)。選択肢の式にf(−1)、f(0)、f(1)を具体的に代入して2bになるかを確かめる。