平成30年度 I-3-3

解説

この問題で問われていること

対角成分が1の下三角行列A=[[1,0,0],[a,1,0],[b,c,1]]の逆行列を選ぶ問題。

解き方

① A×(逆行列)=単位行列。選択肢の違いは1列目に集中しているので、積の(2,1)・(3,1)成分が0になるかだけ確かめる
② (2,1)成分: a+(選択肢の(2,1))=0 → −a(①③⑤は脱落)。(3,1)成分: b−ac+x=0 → x=ac−b(④は脱落)
③ ②

正解が正しい理由

逆行列をB=[[1,0,0],[p,1,0],[q,r,1]]とおいてAB=Eとなる条件を求める。AB の(2,1)成分はa+p=0より p=−a。(3,2)成分はc+r=0より r=−c。(3,1)成分はb+cp+q=0より q=−b−cp=−b+ac=ac−b。よってA⁻¹=[[1,0,0],[−a,1,0],[ac−b,−c,1]]。検算として、Aの3行目(b,c,1)とA⁻¹の1列目(1,−a,ac−b)の積はb−ac+ac−b=0で単位行列の成分に一致する。したがって②が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 単位行列と逆行列
単位行列Eは、対角成分(左上から右下への斜め)が1で、それ以外が0の行列です。Aの逆行列とは、Aに掛けるとEになる行列のことです。

■ 成分の呼び方と掛け算
「(2,1)成分」は2行目・1列目の位置の数です。行列の積の(i,j)成分は、左の行列のi行目と右の行列のj列目を、同じ位置どうし掛けて足したものです。例えば、AとBの積の(2,1)成分は、Aの2行目(a, 1, 0)とBの1列目(1, p, q)から、a×1+1×p+0×q=a+pです。これが単位行列の(2,1)成分の0と等しい、というのが正解の理由の「a+p=0」です。

各選択肢について

• ① (2,1)成分が+a、(3,2)成分が+cとなっている点が誤り。逆行列の非対角成分は符号が反転する。AA⁻¹の(2,1)成分がa+a=2aとなり0にならない。
• ② A⁻¹=[[1,0,0],[−a,1,0],[ac−b,−c,1]]で、AA⁻¹=Eとなることが確かめられるため、これが正答。
• ③ (2,1)成分が1−a、(3,2)成分が1−cとなっている点が誤り。AA⁻¹の(2,1)成分がa+(1−a)=1となり0にならない。
• ④ (3,1)成分がac+bとなっている点が誤り。AA⁻¹の(3,1)成分がb−ac+ac+b=2bとなり0にならない。
• ⑤ 非対角成分がAと同じで、(3,1)成分もac+bとなっており、逆行列ではない(AA⁻¹が単位行列にならない)。

覚えるべきポイント

三角行列の逆行列は、AB=Eの成分を1つずつ解いて求められる。選択肢が与えられている場合は、Aとの積を計算して単位行列になるか、代表的な成分(特に(3,1)成分)で確認すると効率的である。