令和5年度 I-3-1

解説

この問題で問われていること

対角成分がすべて1の3次下三角行列A=[[1,0,0],[a,1,0],[b,c,1]]の逆行列を求める問題。

解き方

① A×(逆行列)=単位行列。選択肢の違いは1列目なので、積の(2,1)・(3,1)成分が0になるかだけ確かめる
② (2,1)成分: a+x=0 → x=−a(②③⑤は脱落)。(3,1)成分: b+c×(−a)+y=0 → y=ac−b(①は脱落)
③ ④

正解が正しい理由

Aの逆行列も同じ形の下三角行列B=[[1,0,0],[p,1,0],[q,r,1]]になると仮定してAB=Iを満たすp, q, rを求める。(2,1)成分よりa+p=0からp=-a、(3,2)成分よりc+r=0からr=-c、(3,1)成分よりb+cp+q=0にp=-aを代入するとb-ac+q=0となりq=ac-bを得る。したがって逆行列はB=[[1,0,0],[-a,1,0],[ac-b,-c,1]]となり、④が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 単位行列と逆行列
単位行列Iは、対角成分(左上から右下への斜め)が1で、それ以外が0の行列です。Aの逆行列とは、Aに掛けるとIになる行列のことです。

■ 成分の呼び方と掛け算
「(2,1)成分」は2行目・1列目の位置の数です。行列の積の(i,j)成分は、左の行列のi行目と右の行列のj列目を、同じ位置どうし掛けて足したものです。例えば、AとBの積の(2,1)成分は、Aの2行目(a, 1, 0)とBの1列目(1, p, q)から、a×1+1×p+0×q=a+pです。これが単位行列の(2,1)成分の0と等しい、というのが正解の理由の「a+p=0」です。

各選択肢について

• ① (3,1)成分が「ac+b」となっている点が誤り。正しくはb+cp+q=0にp=-aを代入して得られるq=ac-bであり、符号がbではなく-bである。
• ② (2,1)成分が「a」(符号が反転していない)となっている点が誤り。AB=Iの(2,1)成分の条件a+p=0より、pは-aでなければならない。
• ③ この行列は上三角行列の形をしており、Aが下三角行列であることと整合しないため、Aの逆行列としては不適切である。
• ④ (2,1)成分p=-a、(3,2)成分r=-c、(3,1)成分q=ac-bが、AB=Iを満たす条件から導かれる値と一致しており、これが正答。
• ⑤ (2,1)成分が「a」、(3,1)成分が「ac+b」となっている点が誤り。正しくは(2,1)成分は-a、(3,1)成分はac-bである。

覚えるべきポイント

対角成分が1の下三角行列(単位下三角行列)の逆行列も同じ形の単位下三角行列になる。未知の成分は、AB=Iの各成分について方程式を立てて、上の行・列から順に解いていくと求められる。