平成30年度 I-3-4

解説

この問題で問われていること

ニュートン・ラフソン法のフローチャートで、修正量Δxの計算式(ア)と収束判定の条件(イ)を選ぶ問題。

解き方

① ニュートン法: x(n+1)=x(n)−f(x(n))/f'(x(n))。修正量Δxが十分小さくなったら(|Δx|<ε)終了
② 図は x(n+1)←x(n)−Δx なので Δx=f/f'(②⑤)。YESで出力して終わるので |Δx|<ε(②)
③ ②

正解が正しい理由

ニュートン法の反復式はx_{n+1}=x_n−f(x_n)/f'(x_n)である。フローチャートではx_{n+1}←x_n−Δxとなっているので、Δx=f(x_n)/f'(x_n)(ア)。収束判定では、修正量の絶対値が収束判定のしきい値εより小さくなったら(|Δx|<ε)、解が十分に収束したとみなしてYESに進み、x_nを出力する(イ)。NOの場合は反復を続ける。したがってア:Δx←f(x_n)/f'(x_n)、イ:|Δx|<εの②が正しい。

各選択肢について

• ① アがf(x_n)・f'(x_n)(積)となっている点が誤り。ニュートン法の修正量は関数値を導関数値で割ったものである。
• ② Δx←f(x_n)/f'(x_n)で、収束判定|Δx|<εがニュートン法の反復式と一致しており、これが正答。
• ③ アがf'(x_n)/f(x_n)となっている点が誤り。分母と分子が逆である。
• ④ アが積となっている点、およびイが|Δx|>εとなっている点が誤り。|Δx|>εならまだ収束していないので反復を続ける(NO側)。
• ⑤ アは正しいが、イが|Δx|>εとなっている点が誤り。収束を判定してYESに進む条件は|Δx|<εである。

覚えるべきポイント

ニュートン法はx_{n+1}=x_n−f(x_n)/f'(x_n)で反復し、修正量|Δx|が十分小さく(ε未満に)なったときに収束したと判定して終了する。接線とx軸の交点を次の近似値とするという幾何学的意味も押さえておく。