令和6年度 I-3-3

解説

この問題で問われていること

ニュートン-ラフソン法のフローチャートにおいて、f(xn)とf'(xn)を計算した後に行う更新量Δxの計算式(ア)、および反復を終了するかどうかの収束判定条件(イ)を求める問題。

解き方

① ニュートン法の更新量はΔx=−f(xn)/f'(xn)(接線とx軸の交点へ移動)。更新量が十分小さくなったら終了
② 単位で確認: Δxはxと同じ単位になるので、f/f'の形の④⑤に絞れる。終了条件は|Δx|<ε
③ ⑤

正解が正しい理由

ニュートン法は、現在の近似解xnにおける接線がx軸と交わる点を次の近似解xn+1とする方法であり、更新量はΔx=-f(xn)/f'(xn)で与えられる(f(xn)+f'(xn)・Δx=0を解くとΔx=-f(xn)/f'(xn)となる)。したがってア=Δx←-f(xn)/f'(xn)である。また、反復はΔxの大きさがしきい値εより十分小さくなった時点、すなわち|Δx|<εが成り立った時点で打ち切り、そのときのxnを近似解として出力する。したがってイ=|Δx|<εである。この組合せと一致する⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 微分f'(x)は「接線の傾き」
f'(xn)は、点(xn, f(xn))でのグラフの接線の傾き(横に1進むと縦にどれだけ変わるか)です。

■ 更新量Δxの考え方
今の高さはf(xn)で、これを0(x軸)まで下げたいとします。傾きがf'(xn)の直線に沿って進むと、横にΔx進んだときの高さの変化はf'(xn)×Δxなので、f(xn)+f'(xn)×Δx=0となるΔxを選べば、接線がx軸と交わる点に着きます。これを解いたものがΔx=−f(xn)/f'(xn)です。

■ フローチャートの「←」
「x_{n+1} ← x_n + Δx」は、右辺を計算した結果を左辺に代入する、という意味です。

各選択肢について

• ① アの式が「-f(xn)・f'(xn)」という積の形になっている点が誤り。ニュートン法の更新量は接線とx軸の交点から導かれる商の形-f(xn)/f'(xn)である。
• ② アの分子・分母が逆(-f'(xn)/f(xn))になっている点、およびイの不等号の向き(|Δx|>ε)が収束条件として不適切である点の両方が誤り。
• ③ アの分子・分母が逆(-f'(xn)/f(xn))になっている点が誤り。正しくは-f(xn)/f'(xn)である。
• ④ アの式は正しいが、イの不等号の向きが「|Δx|>ε」となっている点が誤り。この条件では更新量が大きいうちにYESとなり出力されてしまい、収束判定として意味をなさない。収束したと判断するのは|Δx|がεより小さくなったときである。
• ⑤ ア=Δx←-f(xn)/f'(xn)(ニュートン法の更新式)、イ=|Δx|<ε(収束判定条件)の組合せが、ニュートン-ラフソン法の一般的なアルゴリズムと一致しており、これが正答。

覚えるべきポイント

ニュートン法の更新式Δx=-f(xn)/f'(xn)は、点(xn, f(xn))における接線(傾きf'(xn))がx軸と交わるx座標を次の近似値とする、という幾何学的な考え方から導出できる。収束判定は、更新量|Δx|があらかじめ設定したしきい値εより小さくなったかどうかで行う。