平成30年度 I-3-6

解説

この問題で問われていること

長さ2m、断面積100mm²、ヤング率200GPaの棒を4kNの力で引っ張ったときの伸びを求める問題。

解き方

① 伸びΔL=FL/(AE)。N・mm・N/mm²にそろえる(200GPa=2×10⁵N/mm²)。数字と10の累乗を分けて計算すると桁を間違えにくい
② (4×10³×2×10³)÷(10²×2×10⁵): 数字(4×2)÷2=4、10の累乗10⁶÷10⁷=10⁻¹
③ 0.4mm(③)

正解が正しい理由

応力σ=F/A=4000N/100mm²=40N/mm²=40MPa。ヤング率E=200GPa=200,000MPaなので、ひずみε=σ/E=40/200,000=2×10⁻⁴。伸びΔL=ε×L=2×10⁻⁴×2000mm=0.4mm。あるいはΔL=FL/(AE)=4000×2000/(100×200,000)=0.4mmと直接計算できる。したがって③の0.4mmが正しい。

この問題で必要な基礎

■ 公式ΔL=FL/(AE)の成り立ち
次の3つを組み合わせた式です。
・応力σ=F/A(断面の単位面積あたりにかかる力)
・ひずみε=ΔL/L(元の長さに対して何割伸びたか)
・フックの法則σ=Eε(応力とひずみは比例し、その比例定数がヤング率E)

■ GPaをN/mm²に直す
Pa(パスカル)はN/m²のことです。1m=1,000mmなので1m²=1,000,000mm²となり、1MPa(=1,000,000Pa)=1N/mm²です。1GPa=1,000MPaなので、200GPa=200,000N/mm²になります。

各選択肢について

• ① 0.004mmは、単位の換算を誤って(桁を2つ以上小さく見積もって)計算した場合の値。
• ② 0.04mmは、単位換算の誤りで1桁小さく計算した場合の値。
• ③ ΔL=FL/(AE)=4000N×2000mm/(100mm²×200,000N/mm²)=0.4mmとなり、これが正答。
• ④ 4mmは、単位換算の誤りで1桁大きく計算した場合の値。
• ⑤ 40mmは、単位換算の誤りで2桁大きく計算した場合の値であり、ひずみ2×10⁻⁴に対しては過大である。

覚えるべきポイント

棒の軸方向の伸びはΔL=FL/(AE)(=σL/E=εL)で求める。計算で最も間違えやすいのは単位で、N・mm・MPa(N/mm²)に統一する。1GPa=1000MPa=1000N/mm²と、ヤング率の桁を確認する。