令和5年度 I-3-4

解説

この問題で問われていること

長さ2.4m、断面積1.2×10²mm²の線形弾性体の棒の上端を固定し、下端を2.0kNの力で軸方向に引っ張ったときに生じる伸びを、ヤング率2.0×10²GPaを用いて求める問題。

解き方

① 伸びδ=FL/(AE)。N・mm・N/mm²にそろえる(200GPa=2.0×10⁵N/mm²)
② (2.0×10³×2.4×10³)÷(1.2×10²×2.0×10⁵)=(4.8÷2.4)×10⁶⁻⁷=2×10⁻¹
③ 0.20mm(⑤)

正解が正しい理由

線形弾性体の伸びはフックの法則よりδ=FL/(AE)で計算できる。単位をそろえると、F=2.0kN=2,000N、L=2.4m=2,400mm、A=1.2×10²mm²=120mm²、E=2.0×10²GPa=200,000N/mm²である。これらを代入すると、δ=(2,000×2,400)/(120×200,000)=4,800,000/24,000,000=0.2mmとなる。したがって⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 公式δ=FL/(AE)の成り立ち
次の3つを組み合わせた式です。
・応力σ=F/A(断面の単位面積あたりにかかる力)
・ひずみε=δ/L(元の長さに対して何割伸びたか)
・フックの法則σ=Eε(応力とひずみは比例し、その比例定数がヤング率E)
F/A=E×δ/L をδについて解くと、δ=FL/(AE)になります。

■ GPaをN/mm²に直す
Pa(パスカル)はN/m²のことです。1m=1,000mmなので1m²=1,000,000mm²となり、1MPa(=1,000,000Pa)=1N/mm²です。1GPa=1,000MPaなので、2.0×10²GPa=200GPa=200,000N/mm²になります。

各選択肢について

• ① 0.010mmは正しい計算結果0.2mmの1/20の値であり、単位換算(mやGPaをmmやN/mm²に直す際)を誤った場合に生じやすい値である。
• ② 0.020mmは正しい計算結果0.2mmの1/10の値であり、桁数の換算を誤った場合に生じやすい値である。
• ③ 0.050mmも正しい計算結果0.2mmとは一致せず、計算過程のいずれかで誤りがあった場合に生じやすい値である。
• ④ 0.10mmは正しい計算結果0.2mmの半分の値であり、荷重や断面積の値を誤って扱った場合に生じやすい値である。
• ⑤ δ=FL/(AE)にF=2,000N、L=2,400mm、A=120mm²、E=200,000N/mm²を代入して得られる0.2mmが正しい計算結果であり、これが正答。

覚えるべきポイント

フックの法則による伸びの計算δ=FL/(AE)を使う際は、力[N]、長さ[mm]、断面積[mm²]、ヤング率[N/mm²=MPa]のように単位を一貫させることが重要である。kN・m・GPaといった接頭辞付きの単位が混在する場合は、計算前に必ずN・mm・MPa(またはN/mm²)などの一貫した単位系に変換する。