令和元年度 I-3-2

解説

この問題で問われていること

連鎖律で表されるヤコビ行列を作り、その行列式を選ぶ問題。

解き方

① 連鎖律: ∂z/∂r=(∂x/∂r)(∂z/∂x)+(∂y/∂r)(∂z/∂y)、∂z/∂s も同様。行列 [[a,b],[c,d]] の行列式は ad−bc
② J=[[∂x/∂r, ∂y/∂r],[∂x/∂s, ∂y/∂s]] → 行列式 (∂x/∂r)(∂y/∂s)−(∂y/∂r)(∂x/∂s)
③ ⑤

正解が正しい理由

合成関数の偏微分(連鎖律)より、∂z/∂r=(∂x/∂r)(∂z/∂x)+(∂y/∂r)(∂z/∂y)、∂z/∂s=(∂x/∂s)(∂z/∂x)+(∂y/∂s)(∂z/∂y)。よってJ=[[∂x/∂r, ∂y/∂r],[∂x/∂s, ∂y/∂s]]で、行列式は(∂x/∂r)(∂y/∂s)−(∂y/∂r)(∂x/∂s)。したがって⑤が正しい。

各選択肢について

• ① 同じ列の要素どうしを掛けて足しており、行列式の形(ad−bc)になっていない。
• ② 同じ列の要素どうしを掛けており、行列式の形になっていない。
• ③ 同じ列の要素どうしを掛けており、行列式の形になっていない。
• ④ 対角の積から非対角の積を「引く」べきところを足している。
• ⑤ (∂x/∂r)(∂y/∂s)−(∂y/∂r)(∂x/∂s)で、ヤコビ行列の行列式と一致する。これが正答。

覚えるべきポイント

2×2行列の行列式はad−bc(対角の積−非対角の積)。ヤコビ行列式は座標変換での面積の拡大率を表す。