令和6年度 I-3-1

解説

この問題で問われていること

f=f(x,y), g=g(x,y)の関係があるとき、関数u(f,g)のx, yによる偏微分をf, gによる偏微分で表す際のヤコビ行列[J]として最も適切なものを選ぶ問題。

解き方

① 連鎖律: ∂u/∂x=(∂f/∂x)(∂u/∂f)+(∂g/∂x)(∂u/∂g)、∂u/∂y=(∂f/∂y)(∂u/∂f)+(∂g/∂y)(∂u/∂g)
② 行列の1行目は係数(∂f/∂x, ∂g/∂x)、2行目は(∂f/∂y, ∂g/∂y)。②はこの転置、①⑤は逆向き(x,yをf,gで微分)
③ ④

正解が正しい理由

多変数の連鎖律より、∂u/∂x = (∂f/∂x)(∂u/∂f) + (∂g/∂x)(∂u/∂g)、∂u/∂y = (∂f/∂y)(∂u/∂f) + (∂g/∂y)(∂u/∂g)である。これを行列で表すと、[∂u/∂x; ∂u/∂y] = [[∂f/∂x, ∂g/∂x],[∂f/∂y, ∂g/∂y]] × [∂u/∂f; ∂u/∂g]となる。つまり[J]の1行1列成分は∂f/∂x、1行2列成分は∂g/∂x、2行1列成分は∂f/∂y、2行2列成分は∂g/∂yであり、この形と一致する④が正しい。

各選択肢について

• ① 成分が∂x/∂f, ∂y/∂f, ∂x/∂g, ∂y/∂gで、x,yをf,gで偏微分した行列(逆変換の向き)になっている。連鎖律で必要なのはf,gをx,yで偏微分した係数なので誤り。
• ② 成分は(∂f/∂x,∂f/∂y;∂g/∂x,∂g/∂y)で、標準的な∂(f,g)/∂(x,y)の形だが、本問の式[∂u/∂x;∂u/∂y]=[J][∂u/∂f;∂u/∂g]を成分で書くと第1行は(∂f/∂x,∂g/∂x)でなければならず、②はその転置になっているため誤り。
• ③ u自身をf,gやx,yで偏微分した成分になっており、連鎖律で必要なf,gのx,yによる偏微分(変換の係数)が含まれていないため誤り。
• ④ [J]の成分が、連鎖律∂u/∂x=(∂f/∂x)(∂u/∂f)+(∂g/∂x)(∂u/∂g)、∂u/∂y=(∂f/∂y)(∂u/∂f)+(∂g/∂y)(∂u/∂g)の係数の並びと一致しており、これが正答。
• ⑤ 成分が∂x/∂f, ∂x/∂g, ∂y/∂f, ∂y/∂gで、x,yをf,gで偏微分した行列(逆変換の向き)になっているため誤り。

覚えるべきポイント

合成関数の連鎖律を行列で表すヤコビ行列は、行がどの変数による偏微分を表すか(この問題ではx, y)、列がどの中間変数を通した項か(f, g)を意識して係数を並べる必要がある。∂u/∂x=Σ(∂中間変数/∂x)(∂u/∂中間変数)という連鎖律の構造をそのまま行列の成分に対応させて考えると整理しやすい。