令和元年度(再試験) I-1-5

解説

この問題で問われていること

損傷確率1/(1+4x)、損失額90億円、製造コスト10x億円という条件から総コストを安全率xの関数として表し、それを最小にするxを求める問題。

解き方

① 総コストを微分して0になる点が最小(選択肢を代入して比べてもよい)
② C(x)=90/(1+4x)+10x → C'=−360/(1+4x)²+10=0 → (1+4x)²=36、1+4x=6 → x=1.25(総コスト27.5億円。x=1.00は28.0、1.50は約27.9)
③ 1.25(②)

正解が正しい理由

総コストC(x)=90/(1+4x)+10x(億円)である。微分すると C'(x)=−360/(1+4x)²+10。C'(x)=0とおくと(1+4x)²=36、x≧1より1+4x=6、x=1.25となる。C''(x)=2880/(1+4x)³>0なので下に凸であり、x=1.25で最小となる。実際に各選択肢の値を代入すると、x=1.00で28.0、x=1.25で27.5、x=1.50で約27.86、x=1.75で約28.75、x=2.00で30.0(億円)となり、x=1.25が最小である。したがって②が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 微分して0になる点が最小になる理由
グラフが下がってから上がる形のとき、一番低い点ではグラフの傾きがちょうど0になります。微分は傾きを表すので、「微分=0」となるxを探せば最小の点が見つかります。

■ 90/(1+4x)の微分
90/(1+4x)は90×(1+4x)の−1乗です。これを微分すると、90×(−1)×(1+4x)の−2乗に、かっこの中身(1+4x)の微分である4を掛けて、−360/(1+4x)²になります(かっこの中身の微分を掛けるのを忘れないこと)。10xの微分は10です。

各選択肢について

• ① x=1.00のとき総コストは90/5+10=28.0億円であり、x=1.25のときの27.5億円より大きく、最小ではない。
• ② C'(x)=0より(1+4x)²=36となりx=1.25。このとき総コストは90/6+12.5=27.5億円で最小となり、これが正答。
• ③ x=1.50のとき総コストは90/7+15≒27.86億円であり、x=1.25のときの27.5億円より大きく、最小ではない。
• ④ x=1.75のとき総コストは90/8+17.5=28.75億円であり、x=1.25のときより大きい。
• ⑤ x=2.00のとき総コストは90/9+20=30.0億円であり、5つの選択肢の中で最も大きく、最小ではない。

覚えるべきポイント

総コスト=期待損失額+製造コストのように、一方が増えると他方が減る関係(トレードオフ)がある最適化問題は、総コストを変数の関数として表し、微分して0となる点を求めて最小値を判定する。