令和2年度 I-1-6

解説

この問題で問われていること

信頼度0.7のn個の要素を並列に接続し、信頼度0.95の要素をさらに直列に接続したシステムについて、システム全体の信頼度が0.94以上となるために必要なnの最小値を求める問題。

解き方

① 同じ要素n個の並列=1−(1−r)ⁿ。直列部分は掛け算。nを小さい方から代入する
② 0.95×(1−0.3ⁿ): n=3で0.95×0.973≒0.924(不足)、n=4で0.95×0.9919≒0.942(0.94以上)
③ 4(③)

正解が正しい理由

n個の並列接続部分の信頼度は1-(1-0.7)ⁿ=1-0.3ⁿであり、これに信頼度0.95の要素を直列に接続したシステム全体の信頼度は0.95×(1-0.3ⁿ)となる。この値が0.94以上となる条件は1-0.3ⁿ≥0.94/0.95≒0.9895、すなわち0.3ⁿ≤0.0105である。n=3のとき0.3³=0.027で条件を満たさず(システムの信頼度は0.95×(1-0.027)=0.9235<0.94)、n=4のとき0.3⁴=0.0081で条件を満たす(システムの信頼度は0.95×(1-0.0081)=0.9423≥0.94)。したがって必要なnの最小値は4であり、③が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 並列部分の信頼度
n個の要素が並列につながっていると、どれか1つでも動けばよいので、動かなくなるのは「n個全部が同時に故障する」ときだけです。1個が故障する確率は1−0.7=0.3なので、n個全部が故障する確率は0.3をn回掛けた0.3ⁿ、並列部分の信頼度は1−0.3ⁿです。

■ 直列の要素
並列部分と0.95の要素は、両方とも動かないとシステムが動かない(直列)ので、信頼度は掛け算になります。0.95の要素はnを増やしても変わらないので、システムの信頼度は0.95を超えることはありません。

各選択肢について

• ① n=2のとき、並列部分の信頼度は1-0.3²=0.91、システム全体は0.95×0.91=0.8645であり、0.94には遠く及ばないため誤り。
• ② n=3のとき、並列部分の信頼度は1-0.3³=0.973、システム全体は0.95×0.973=0.92435であり、0.94未満であるため条件を満たさない。
• ③ n=4のとき、並列部分の信頼度は1-0.3⁴=0.9919、システム全体は0.95×0.9919≒0.9423となり0.94以上の条件を満たす最小のnであり、これが正答。
• ④ n=5でも条件は満たされるが、n=4で既に条件(0.94以上)を満たしているため、n=5は最小値ではなく誤り。
• ⑤ nを大きくすれば並列部分の信頼度は1に近づき、システム全体の信頼度も0.95に近づいていくため、「nに依らず0.94未満」という記述は誤りである。

覚えるべきポイント

n個の同じ信頼度rの要素を並列に接続したときのシステムの信頼度は1-(1-r)ⁿで計算でき、nを増やすほど1に近づいていく。この並列部分と直列に接続された別の要素の信頼度を掛け合わせて、必要な条件(この問題では0.94以上)を満たす最小のnを、実際にn=2,3,4,…と代入して確認していくのが確実な解法である。