令和3年度 I-1-2

解説

この問題で問われていること

信頼度0.9, 0.8, 0.7の3つの要素を、異なる直列・並列の組合せで接続した5種類のシステムA〜Eについて、システム全体の信頼度を計算し、信頼度が高い順に並べる問題。

解き方

① 直列=信頼度の積、並列=1−(故障確率の積)。内側の組からまとめる
② A: 0.72と0.7の並列→1−0.28×0.3=0.916、B: 0.63と0.8→1−0.37×0.2=0.926、C: 0.56と0.9→1−0.44×0.1=0.956、D: 0.8×(1−0.1×0.3)=0.776、E: 0.9×(1−0.2×0.3)=0.846
③ C>B>A>E>D(②)

正解が正しい理由

各システムの信頼度を計算する。システムAは(0.9直列0.8)と0.7の並列で、0.9×0.8=0.72、並列合成は1-(1-0.72)(1-0.7)=0.916。システムBは(0.9直列0.7)と0.8の並列で、0.9×0.7=0.63、並列合成は1-(1-0.63)(1-0.8)=0.926。システムCは(0.8直列0.7)と0.9の並列で、0.8×0.7=0.56、並列合成は1-(1-0.56)(1-0.9)=0.956。システムDは0.8と(0.9並列0.7)の直列で、並列合成1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97、直列合成0.8×0.97=0.776。システムEは0.9と(0.8並列0.7)の直列で、並列合成1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94、直列合成0.9×0.94=0.846。これらを比較するとC(0.956)>B(0.926)>A(0.916)>E(0.846)>D(0.776)となる。したがって②が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 信頼度と直列・並列
信頼度は、その要素が正常に動く確率です。故障する確率は「1−信頼度」です。
・直列(横に1列につながった部分)は、全部が動かないとシステムが動かないので、各信頼度の掛け算になります。
・並列(上下に分かれてつながった部分)は、どれか1つが動けばよいので、「全部が同時に故障する」とき以外は動きます。そのため、1−(各故障確率の掛け算)になります。

■ 複雑な形は内側からまとめる
例えばシステムDは、まず並列の部分(0.9と0.7)を1つの要素とみなして1−0.1×0.3=0.97とし、それと0.8を直列として掛け合わせます。

各選択肢について

• ① C>B>E>A>Dの順は、AとEの順序が実際の計算結果(A=0.916>E=0.846)と逆になっており誤り。
• ② 各システムの信頼度を計算した結果C(0.956)>B(0.926)>A(0.916)>E(0.846)>D(0.776)という順序と一致しており、これが正答。
• ③ C>E>B>D>Aの順は、BとEおよびDとAの順序が実際の計算結果と一致しておらず誤り。
• ④ E>D>A>B>Cの順は、全体の大小関係が実際の計算結果と正反対に近く誤り。信頼度が最も高いのはCであり、Eではない。
• ⑤ E>D>C>B>Aの順も、実際の計算結果とは一致しない誤った順序である。

覚えるべきポイント

直列接続の信頼度は各要素の信頼度の積(全体はどの要素よりも低くなる)、並列接続の信頼度は1-(各要素の故障率の積)(全体はどの要素よりも高くなる)で計算する。2要素を並列にしてから残り1要素と直列にする構成と、2要素を直列にしてから残り1要素と並列にする構成とでは、同じ3つの信頼度の値を使っても結果が大きく異なる点に注意する。