令和4年度 I-1-5

解説

この問題で問われていること

断面が円形の等分布荷重を受ける片持ちばりについて、最大曲げ応力・最大たわみが断面の直径の何乗に比例・反比例するか、また断面を長方形に変更した場合に最大曲げ応力が長方形の高さの何乗に反比例するかを問う問題。

解き方

① 片持ちばり(等分布荷重): 曲げ応力=M/Z、たわみ∝1/(EI)。円断面はZ∝d³、I∝d⁴。長方形断面はZ∝bh²
② 応力は直径の3乗に反比例、たわみは4乗に反比例で③⑤。長方形は高さの2乗に反比例で③
③ ③

正解が正しい理由

円形断面の断面係数はZ=πd³/32であり、最大曲げ応力σ=M/Zは直径dの3乗に反比例する(ア=3乗、イ=反比例)。円形断面の断面二次モーメントはI=πd⁴/64であり、最大たわみは直径dの4乗に反比例する(ウ=4乗)。断面を長方形(幅b、高さh)に変更すると、断面係数はZ=bh²/6となり、最大曲げ応力は高さhの2乗に反比例する(エ=2乗)。したがってア=3乗、イ=反比例、ウ=4乗、エ=2乗の組合せである③が正しい。

各選択肢について

• ① イが「比例」となっている点が誤り。曲げ応力・たわみはいずれも直径が大きくなるほど小さくなる反比例の関係である。
• ② アが「4乗」、ウが「3乗」、イが「比例」となっている点が誤り。正しくは曲げ応力が3乗、たわみが4乗に反比例する関係である。
• ③ ア=3乗(曲げ応力は断面係数∝d³に反比例)、イ=反比例、ウ=4乗(たわみは断面二次モーメント∝d⁴に反比例)、エ=2乗(長方形断面の曲げ応力は高さhの2乗に反比例)の組合せが、それぞれの公式と一致しており、これが正答。
• ④ アが「4乗」、ウが「3乗」となっている点が誤り。曲げ応力は直径の3乗、たわみは直径の4乗に反比例する関係が正しい。
• ⑤ エが「3乗」となっている点が誤り。長方形断面の断面係数はZ=bh²/6であるため、曲げ応力は高さの2乗に反比例する(3乗ではない)。

覚えるべきポイント

円形断面の断面係数Z=πd³/32・断面二次モーメントI=πd⁴/64、長方形断面の断面係数Z=bh²/6という公式を覚えておくと、曲げ応力・たわみが寸法の何乗に反比例するかを素早く導出できる。円形と長方形で反比例の次数が異なる(3乗・4乗 vs 2乗)点に注意する。