令和6年度 I-1-3

解説

この問題で問われていること

断面が円形の等分布荷重を受ける片持ちはりにおいて、最大曲げ応力および最大たわみが断面の円の直径の何乗に、比例・反比例のどちらの関係にあるかを問う問題。

解き方

① 曲げ応力=M/Z、たわみ∝1/I。円形断面はZ∝d³、I∝d⁴(直径が大きいほど、どちらも小さくなる=反比例)
② 応力は直径の3乗に反比例、たわみは4乗に反比例
③ 3乗・反比例・4乗・反比例(①)

正解が正しい理由

長さL、単位長さ当たりの等分布荷重wの片持ちはりでは、最大曲げモーメントは固定端でM=wL²/2、最大たわみは自由端でδ=wL⁴/(8EI)である。円形断面(直径d)の断面二次モーメントはI=πd⁴/64、断面係数はZ=I/(d/2)=πd³/32である。よって最大曲げ応力σ=M/Z=16wL²/(πd³)は直径の3乗に反比例し(ア=3乗、イ=反比例)、最大たわみδ=8wL⁴/(πEd⁴)は直径の4乗に反比例する(ウ=4乗、エ=反比例)。直径を2倍にすると応力は1/8、たわみは1/16になる。したがって①が正しい。

各選択肢について

• ① ア=3乗、イ=反比例、ウ=4乗、エ=反比例の4つ全てが、応力∝1/d³・たわみ∝1/d⁴の関係と一致しており、これが正答。
• ② ア「4乗」(正しくは3乗)とイ「比例」(正しくは反比例)が誤り。応力は断面係数(d³に比例)に反比例するため、直径の3乗に反比例する。ウ・エは正しい。
• ③ ア「4乗」(正しくは3乗)とウ「3乗」(正しくは4乗)が入れ替わっている。応力は3乗、たわみは4乗に反比例する。イ・エは正しい。
• ④ ア「4乗」・イ「比例」・ウ「3乗」・エ「比例」の4つ全てが誤り。直径が大きくなるほど応力もたわみも小さくなるため反比例であり、乗数は応力が3乗、たわみが4乗である。
• ⑤ エ「比例」が誤り。最大たわみは断面二次モーメント(d⁴に比例)に反比例するため、直径の4乗に反比例する。ア・イ・ウは正しい。

覚えるべきポイント

円形断面の断面係数Z=πd³/32、断面二次モーメントI=πd⁴/64を覚えておけば、曲げ応力(∝1/Z∝1/d³)とたわみ(∝1/I∝1/d⁴)がそれぞれ直径の何乗に反比例するかを導出できる。