令和5年度 I-3-5

解説

この問題で問われていること

変速機の入力軸(モータ出力軸に直結)と出力軸(慣性モーメントIの円盤に直結)の回転速度比が1:1/n(n>1)である回転軸系において、円盤を時間Tの間に角速度ω1からω2に一定の角加速度で増速するために必要なモータ出力軸のトルクτを求める問題。

解き方

① 回転の運動方程式: トルク=慣性モーメント×角加速度。変速機は動力(トルク×角速度)をそのまま伝える
② 円盤側に必要なトルクはI(ω2−ω1)/T。モータは円盤のn倍速く回るので、必要なトルクはその1/n
③ τ=(1/n)×I×(ω2−ω1)/T(②)

正解が正しい理由

変速機の入力軸の回転速度と出力軸の回転速度の比が1:1/nであることから、入力軸の角速度ω_inと出力軸(円盤側)の角速度ω_outの関係はω_in=n×ω_outとなる。円盤を角加速度(ω2-ω1)/Tで増速するために変速機の出力軸に必要なトルクT_outは、運動方程式よりT_out=I×(ω2-ω1)/Tである。変速機の動力伝達効率が1(損失なし)であるため、入力側の動力と出力側の動力は等しく、T_in×ω_in=T_out×ω_outが成り立つ。これよりT_in=T_out×(ω_out/ω_in)=T_out×(1/n)=(1/n)×I×(ω2-ω1)/Tとなる。モータ出力軸は変速機入力軸に直結しているため、モータ出力軸のトルクτはこのT_inに等しく、τ=(1/n)×I×(ω2-ω1)/Tとなる。したがって②が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 回転の運動方程式
直線運動の「力=質量×加速度」に対応して、回転では「トルク=慣性モーメント×角加速度」が成り立ちます。慣性モーメントIは回しにくさ、角加速度は回転の速さが1秒あたりどれだけ増えるかです。この問題では角加速度が(ω2−ω1)/Tと与えられているので、円盤を回すのに必要なトルクはI×(ω2−ω1)/Tです。

■ 変速機で動力は変わらない
動力(1秒あたりの仕事)は、回転ではトルク×角速度です。効率1の変速機は動力をそのまま伝えるので、入力側と出力側でトルク×角速度が等しくなります。この問題の変速機は出力側が入力側の1/nの速さで回る(減速する)ので、入力側(モータ側)に必要なトルクは、出力側の1/nで済みます。

各選択肢について

• ① τ=(1/n²)×I×(ω2-ω1)/Tという式は、動力(トルク×角速度)の保存関係から導かれる正しい比例関係(1/n倍)と異なり、誤った次数(1/n²)になっているため誤り。
• ② 動力伝達効率が1であることによる動力保存の関係T_in×ω_in=T_out×ω_outと、速度比ω_in=n×ω_outから導かれるτ=T_in=(1/n)×I×(ω2-ω1)/Tが正しい計算結果であり、これが正答。
• ③ τ=I×(ω2-ω1)/Tは変速機による速度・トルクの変換(1/n倍)を考慮していない誤った式である。
• ④ τ=n×I×(ω2-ω1)/Tは、動力保存の関係から導かれる比例関係(1/n倍に小さくなる)とは逆の(n倍に大きくなる)関係になっており誤り。
• ⑤ τ=n²×I×(ω2-ω1)/Tも、正しい比例関係(1/n倍)とは逆かつ次数も異なる誤った式である。

覚えるべきポイント

動力伝達効率が1(理想的)な変速機では、入力側と出力側で動力(トルク×角速度)が保存される。この問題のように出力側が入力側の1/nの速さで回る(減速する)場合、出力側のトルクは入力側のn倍になり、逆にモータ側(入力側)に必要なトルクは出力側の1/nで済む、という「速度とトルクのトレードオフ」の関係を理解しておくことが重要である。