令和7年度 I-3-2

解説

この問題で問われていること

関数f(x,y)=2x²+xy-y²について、点(x,y)=(2,1)における勾配ベクトルgrad fの大きさ‖grad f‖を求める問題。

解き方

① 長さ=√((∂f/∂x)²+(∂f/∂y)²)。偏微分は他の文字を定数とみなして微分
② ∂f/∂x=4x+y=9、∂f/∂y=x−2y=0 → √(9²+0²)=9
③ 9(①)。④(9, 0)はベクトルそのもので、長さではない

正解が正しい理由

grad f=(∂f/∂x, ∂f/∂y)であり、∂f/∂x=4x+y、∂f/∂y=x-2yと計算できる。(x,y)=(2,1)を代入すると、∂f/∂x=4×2+1=9、∂f/∂y=2-2×1=0となり、grad f=(9,0)が得られる。その大きさ‖grad f‖=√(9²+0²)=√81=9となる。したがって①が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 偏微分のやり方
∂f/∂xは「y を定数(ただの数)とみなして、xで微分する」ことです。f=2x²+xy−y²なら
・2x²をxで微分すると4x
・xyはyを定数とみなすと「y×x」なので、xで微分するとy
・−y²はxを含まないので0
となり、∂f/∂x=4x+yです。∂f/∂yも同様に、xを定数とみなしてyで微分します。

■ ベクトルの長さ
ベクトル(p, q)の長さは、三平方の定理と同じで√(p²+q²)です。

各選択肢について

• ① 勾配ベクトル(9,0)の大きさは√(9²+0²)=9であり、これが正答。
• ② 3は偏微分の計算や大きさの算出過程で桁や項を誤った場合に生じやすい値であり、正しい計算結果とは一致しない。
• ③ √5は∂f/∂xと∂f/∂yの値を取り違えるなどした場合に生じうる値だが、実際には∂f/∂y=0であるため、この値にはならない。
• ④ (9,0)は勾配ベクトルgrad fそのものであり、問題で問われている「最急勾配の長さ(ノルム)」ではない。ベクトルの大きさを求める最後の計算(√(9²+0²))を行っていない誤り。
• ⑤ √26は偏微分の計算で符号や係数を誤り、∂f/∂yが0以外の値になってしまった場合に生じやすい値であり、正しい計算結果とは一致しない。

覚えるべきポイント

最急勾配の「長さ」を問われた場合は、勾配ベクトルgrad f=(∂f/∂x, ∂f/∂y)を求めた後、必ずその大きさ(ノルム)‖grad f‖=√((∂f/∂x)²+(∂f/∂y)²)まで計算する必要がある。ベクトル自体と大きさを混同しないよう注意する。