平成29年度 I-1-1

解説

この問題で問われていること

ATMを利用する待ち行列モデルで、与えられた公式を用いて、並んでから処理が終了するまでの平均時間(平均系内滞在時間)を求める問題。

解き方

① 平均系内滞在時間=平均処理時間÷(1−利用率)、利用率=到着率×平均処理時間
② 利用率=(60÷3600)×40=2/3 → 40÷(1−2/3)=120
③ 120秒(⑤)

正解が正しい理由

到着率λ=60人/時間=1人/分=1/60人/秒。サービス率μ=1/40人/秒(平均処理時間40秒)。利用率ρ=λ/μ=(1/60)/(1/40)=40/60=2/3。平均系内列長L=ρ/(1−ρ)=(2/3)/(1/3)=2人。平均系内滞在時間W=L/λ=2/(1/60)=120秒となる。したがって⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 到着率・サービス率は「1秒あたり何人」
到着率は1秒あたりに来る人数、サービス率は1秒あたりに処理できる人数です。1人の処理に平均40秒かかるということは、1秒あたりでは1/40人を処理できる、ということなので、サービス率は1/40人/秒になります。到着率も「1時間に60人」を秒に直して、60÷3600=1/60人/秒とし、単位をそろえてから公式に入れます。

各選択肢について

• ① 60秒は、利用率や平均系内列長の計算を誤った場合に現れる値。正しくは120秒である。
• ② 75秒は、正しい計算(W=L/λ=120秒)とは一致しない。
• ③ 90秒は、正しい計算(W=L/λ=120秒)とは一致しない。
• ④ 105秒は、正しい計算(W=L/λ=120秒)とは一致しない。
• ⑤ ρ=2/3、L=2、W=L/λ=2×60秒=120秒であり、これが正答。

覚えるべきポイント

M/M/1待ち行列では、利用率ρ=到着率÷サービス率、平均系内列長L=ρ/(1−ρ)、平均系内滞在時間W=L÷到着率(リトルの公式)で求める。単位(秒と時間)を統一することが重要である。