令和7年度 I-1-5

解説

この問題で問われていること

1時間平均36人がポアソン分布で到着し、1人当たり平均50秒の指数分布に従って処理される窓口(M/M/1待ち行列)において、訪問者が列に並んでから処理終了までの平均系内滞在時間を求める問題。

解き方

① 平均滞在時間=平均処理時間÷(1−利用率)、利用率=到着率×平均処理時間
② 利用率=(36÷3600)×50=0.5 → 50÷(1−0.5)=100
③ 100秒(⑤)

正解が正しい理由

到着率は36人/時間=36/3600=0.01人/秒、サービス率は1人当たり平均50秒なので1/50=0.02人/秒である。トラフィック密度(利用率)ρ=到着率÷サービス率=0.01÷0.02=0.5。平均系内列長=ρ÷(1-ρ)=0.5÷0.5=1人。平均系内滞在時間=平均系内列長÷到着率=1÷0.01=100秒となる。したがって⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 到着率・サービス率は「1秒あたり何人」
到着率は1秒あたりに来る人数、サービス率は1秒あたりに処理できる人数です。1人の処理に平均50秒かかるということは、1秒あたりでは1/50人を処理できる、ということなので、サービス率は1/50=0.02人/秒になります。到着率も「1時間に36人」を秒に直して、36÷3600=0.01人/秒とし、単位をそろえてから公式に入れます。

各選択肢について

• ① 0秒は待ち行列が全く発生しない理想状態に相当するが、利用率ρ=0.5であり実際には待ち時間・処理時間が発生するため誤り。
• ② 25秒は計算過程のどこかの値(例えばサービス時間の半分)と混同した値であり、与えられた計算式に沿った結果とは一致しない。
• ③ 50秒は1人当たりの平均処理時間そのものであり、待ち時間を含まない値である。系内滞在時間には列に並んで待つ時間も含まれるため、これだけでは不足しており誤り。
• ④ 75秒は計算式の適用を誤った際に生じやすい値だが、平均系内列長・到着率から正しく計算すると100秒になるため誤り。
• ⑤ トラフィック密度0.5、平均系内列長1人、平均系内滞在時間100秒という計算式通りの結果であり、これが正答。

覚えるべきポイント

M/M/1待ち行列モデルでは、トラフィック密度ρ=到着率÷サービス率、平均系内列長=ρ÷(1-ρ)、平均系内滞在時間=平均系内列長÷到着率、という3段階の公式を順に適用する。単位(時間あたり人数と秒あたり人数)をそろえてから計算することが重要。