出典：公益社団法人 日本技術士会「技術士第一次試験 過去問題」
原料A・Bと生産ラインの稼働時間の制約のもとで、製品1(利益300万円/kg)と製品2(利益200万円/kg)の生産量を決め、1日当たりの最大利益を求める線形計画法の問題。
原料A・Bの使用上限と稼働時間の上限のもとで、製品1・2の生産量を変数とする線形計画問題を解き、1日当たりの最大利益を求める問題。
① 利益が最大になるのは、制約の直線どうしの交点(頂点)のどれか。交点が他の制約も満たすかを必ず確認
② (6,0)→1,800、2x+y=12とx+y=7の交点(5,2)→1,900、x+y=7とx+3y=15の交点(3,4)→1,700、(0,5)→1,000
③ 1,900万円(②)
製品1、2の生産量をx、y(kg)とする。制約条件は、原料A:2x+y≦12、原料B:x+3y≦15、ライン稼働時間:x+y≦7、x≧0、y≧0。目的関数は利益300x+200y(万円)の最大化。実行可能領域の頂点で利益を評価する。(0,0)→0、(6,0)→1,800、2x+y=12とx+y=7の交点(5,2)→1,500+400=1,900(原料Bは5+6=11≦15で満たす)、x+y=7とx+3y=15の交点(3,4)→900+800=1,700(原料Aは6+4=10≦12で満たす)、(0,5)→1,000。最大は(5,2)のときの1,900万円で、②が正しい。
■ なぜ「頂点」を調べればよいのか
制約を全て満たす(x, y)の範囲は、グラフ上では直線で囲まれた多角形になります。利益300x+200yは一次式なので、この範囲の中で最大になるのは多角形の角(頂点)のどれかです。そのため、頂点だけを調べれば足ります。
■ 頂点(交点)の求め方
2本の直線の交点は、2つの式を連立方程式として解けば求まります。例えば原料A(2x+y=12)とライン稼働時間(x+y=7)の交点は、上の式から下の式を引くとx=5、これをx+y=7に入れてy=2です。求めた交点が、残りの制約(ここでは原料B: 5+3×2=11≦15)も満たしているかを必ず確認します。
線形計画問題では、制約条件が作る実行可能領域の頂点のうち、目的関数が最大(または最小)になる点が最適解となる。制約式の交点を求め、他の制約を満たすことを確認したうえで利益を比較する。
キーワード: 線形計画法、最適化、利益最大化、制約条件、設計・計画