令和2年度 I-1-4

解説

この問題で問われていること

原料A(上限24kg)・原料B(上限15kg)の制約のもとで、製品1(利益2百万円/kg)・製品2(利益3百万円/kg)の生産量x1, x2を決めて利益zを最大化する問題(1)と、製品1の利益が(2+Δc)に変化しても最適な生産量が(1)と同じであり続けるΔcの範囲を求める問題(2)。

解き方

① 最適解は制約の直線どうしの交点(頂点)のどれか。係数を変えても同じ頂点が最適なのは、目的関数の係数の比が、その頂点で交わる2本の制約の係数の比の間にあるとき
② 3x1+2x2=24とx1+3x2=15の交点(6,3)で利益21(他の頂点は0、16、15)。係数の比: 1/3≦(2+Δc)/3≦3/2 → 1≦2+Δc≦4.5
③ x1=6、x2=3、−1≦Δc≦5/2(⑤)

正解が正しい理由

(1)制約式3x1+2x2≤24とx1+3x2≤15の交点を求めると、これらを連立して解くとx1=6, x2=3となる。この点での利益z=2(6)+3(3)=21であり、他の頂点((0,0)=0、(8,0)=16、(0,5)=15)と比較して最大であるため、最適解はx1=6, x2=3である。(2)製品1の利益が(2+Δc)になったとき、目的関数の傾き-(2+Δc)/3が、頂点(6,3)で交わる2つの制約式の傾き(-3/2と-1/3)の間に収まっていれば、最適解は変わらない。この条件を解くと-1≤Δc≤5/2となる。したがって、x1=6, x2=3, -1≤Δc≤5/2の組合せである⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ 最適解が頂点になる理由
制約を全て満たす(x1, x2)の範囲は、直線で囲まれた多角形になります。利益z=2x1+3x2が一定の値になる点を結ぶと直線になり、zを大きくするとこの直線が平行に移動します。多角形から離れる直前に最後に触れる点(頂点)が、利益が最大の点です。

■ 傾きで考える感度分析
利益の直線(2+Δc)x1+3x2=一定の傾きは−(2+Δc)/3です。頂点(6,3)で交わる2本の制約の直線の傾きは、原料A(3x1+2x2=24)が−3/2、原料B(x1+3x2=15)が−1/3です。利益の直線の傾きがこの2つの間にある限り、最後に触れる頂点は(6,3)のまま変わりません。1/3≦(2+Δc)/3≦3/2を解くと、1≦2+Δc≦4.5、つまり−1≦Δc≦5/2です。

各選択肢について

• ① x1=0, x2=5は、利益を最大化する頂点ではなく、原料Bの制約のみが効いた別の頂点(利益15)であるため誤り。
• ② x1=6, x2=3は正しいが、Δcの範囲が「Δc≤-1、5/2≤Δc」と最適解が変わる(変わらない)範囲を逆にしているため誤り。
• ③ x1=6, x2=3は正しいが、Δcの範囲「-1≤Δc≤1」が誤り。正しい上限は5/2であり、1ではない。
• ④ x1=0, x2=5が誤りであり、また範囲の与え方も最適解が変わる範囲になっているため誤り。
• ⑤ 線形計画問題の最適解x1=6, x2=3、および目的関数の傾きが2つの制約式の傾きの間に収まる条件から導かれるΔcの範囲-1≤Δc≤5/2が正しく、これが正答。

覚えるべきポイント

線形計画問題の最適解は、実行可能領域の頂点(制約式同士の交点)のいずれかで達成される。目的関数の係数(この問題では製品1の利益)がどこまで変化しても同じ頂点が最適であり続けるかは、その頂点で交わる制約式の傾きと目的関数の傾きを比較する感度分析によって求められる。