出典：公益社団法人 日本技術士会「技術士第一次試験 過去問題」
長さL、抵抗rの導線を複数本接続した3種類の回路(a: 2つの正方形を横に並べた形、b: 2×2の格子状、c: 中央に橋渡しの導線があるひし形)のAB間の合成抵抗の大小関係を求める問題。
長さL・抵抗rの導線からなる3種類の回路(a: 2つの正方形を横に並べた回路、b: 2×2の格子状の回路、c: 中央に橋渡し導線のあるひし形回路)について、それぞれのAB間の合成抵抗Ra, Rb, Rcの大小関係を求める問題。
① 使うのは、オームの法則(電圧降下=抵抗×電流)と電流則(節点で入る電流=出る電流)。合成抵抗=電圧÷全電流。電圧は仮に置いてよい(何Vでも答えは同じ)。対称な点は同電位で、その間の導線には電流が流れない。同じ抵抗2本の並列は半分
② (c)ひし形: 真ん中の縦の導線は無視でき、2r∥2r=r(最小)
(b)2×2の格子: 【仮定】Aを1V、Bを0Vとおく(Aは左上、Bは右下の角)。対称性から中心は1/2V、残り2つの角も1/2V。Aの隣の2点は同電位なので、その電位を未知数xとおく。Aの隣の点に入る電流の合計=0: (1−x)+(1/2−x)+(1/2−x)=0 → x=2/3。Aから出る電流=2×(1−2/3)/r=2/(3r) → 1.5r
(a)正方形2つ: 【仮定】Aを1V、Bを0Vとおく(Aは左上、Bは右下)。未知数: 上中央の電位t、右上の電位u。図を180°回すとAとBが入れ替わるので、下中央=1−t、左下=1−u。上中央に入る電流の合計=0: (1−t)+(u−t)+(1−2t)=0(Aから、右上から、下中央から)。右上に入る電流の合計=0: (t−u)+(0−u)=0(上中央から、Bから)。→ t=4/7、u=2/7。Aから出る電流=(1−4/7)/r+u/r=5/(7r) → 1.4r
③ Rc=r、Ra=1.4r、Rb=1.5r → Rc<Ra<Rb(③)
回路(a)は2つの正方形を横に並べた形で、対角線上にあるAB間の合成抵抗を節点方程式で計算するとRa=(7/5)r=1.4rとなる。回路(b)は2×2の格子(9節点・12辺)で、対角の頂点間の合成抵抗を対称性を利用して計算するとRb=(3/2)r=1.5rとなる。回路(c)は中央に橋渡しの導線(ブリッジ)があるひし形で、回路の上下対称性より橋渡し導線の両端(上下の頂点)は常に同電位になるため、この橋渡し導線には電流が流れず無視でき、A-上頂点-Bの経路(2r)とA-下頂点-Bの経路(2r)の並列合成抵抗Rc=(2r×2r)/(2r+2r)=rとなる。以上よりRc(r)<Ra(1.4r)<Rb(1.5r)となり、③が正しい。
■ オームの法則
抵抗Rに電流Iが流れると、抵抗の前後で電圧が R×I だけ下がります(この下がる分を「電圧降下」と呼びます)。電圧=抵抗×電流と同じ意味です。
■ キルヒホッフの電流則(第1法則)
道が分かれたり合流したりする点(節点)では、入ってくる電流の合計と、出ていく電流の合計は等しくなります。水の流れが途中で消えたり増えたりしないのと同じです。
■ キルヒホッフの電圧則(第2法則)
回路を出発点からぐるっと1周して戻ると、電圧の上がり下がりの合計は0になります。山を登って降りたら元の高さに戻るのと同じです。ある点からある点までの電圧は、途中の抵抗ごとの電圧降下を足したものになります。
■ 直列・並列
直列: r₁+r₂、並列: 1/R=1/r₁+1/r₂(同じ抵抗が2本ならr/2)
■ 等電位の点
対称な位置の点は電位が等しく、その間の導線には電流が流れません。回路(c)は上下対称なので、上の頂点と下の頂点は同電位で、その間の縦の導線は無いものとして計算できます。
回路(c)のようなブリッジ構造では、回路の対称性により橋渡し部分の両端が同電位になる場合、その部分には電流が流れず合成抵抗の計算から除外できる。格子状の回路(b)や複合形状の回路(a)では、節点電位を未知数とした連立方程式(キルヒホッフの法則)を立てて解くのが確実な方法である。
キーワード: 合成抵抗、ブリッジ回路、回路の対称性、解析
同じ問題が計2回出題されています(平成29年度、令和5年度)。