令和7年度 I-3-5

解説

この問題で問われていること

一辺の抵抗Rの正四面体回路について、AB間の端子の取り方(両方とも頂点/片方が辺の中点/両方とも辺の中点)を変えた3種類の回路(a)(b)(c)それぞれの合成抵抗R_a、R_b、R_cの大小関係を求める問題。

解き方

① 使うのは、オームの法則(電圧降下=抵抗×電流)、キルヒホッフの電流則(節点で入る電流=出る電流)、電圧則(経路上の電圧降下を足すと電位差になる)。合成抵抗=電圧÷全電流。電圧は仮に置いてよい(何Vでも答えは同じ)。対称な点は同電位で、その間の辺には電流が流れない
② (a) CとDは同電位で辺CDは無視。AB間は R、2R、2R の並列 → 1/R+1/(2R)+1/(2R)=2/R → Ra=R/2
　(b) 【仮定】Aを V、Bを0とおく。未知数: P・Qの電位Vp(PとQは同電位)、Sの電位Vs。電流則を立てる。P: (V−Vp)+(Vs−Vp)=2Vp、S: V−Vs=2(Vs−Vp) → Vp=2V/5、Vs=3V/5。全電流 I=2(V−Vp)/R+(V−Vs)/R=8V/(5R) → Rb=V/I=5R/8
　(c) 電流Iは対称に分かれ、1段ごとの電圧降下は IR/4。3段を電圧則で足して 3IR/4 → Rc=3R/4
③ R/2 < 5R/8 < 3R/4 で⑤

正解が正しい理由

キルヒホッフの電流則で各回路のAB間の電位差と全電流を求めると、Ra=R/2、Rb=5R/8、Rc=3R/4となる(図中の電流値とも整合)。(a)はCDが等電位で電流が流れず、3経路の並列になる。(b)は中点Bが半辺R/2を介してP・Qにつながるため、2つの節点P(=Q)・Sの方程式を解く。(c)はAもBも辺の中点で、半辺R/2・辺R・半辺R/2の3段を電流が対称に流れ、各段の電圧降下はIR/4になる。したがって Ra<Rb<Rc で、⑤が正しい。

この問題で必要な基礎

■ オームの法則
抵抗Rに電流Iが流れると、抵抗の前後で電圧が R×I だけ下がります(この下がる分を「電圧降下」と呼びます)。電圧=抵抗×電流と同じ意味です。

■ キルヒホッフの電流則(第1法則)
道が分かれたり合流したりする点(節点)では、入ってくる電流の合計と、出ていく電流の合計は等しくなります。水の流れが途中で消えたり増えたりしないのと同じです。

■ キルヒホッフの電圧則(第2法則)
回路を出発点からぐるっと1周して戻ると、電圧の上がり下がりの合計は0になります。山を登って降りたら元の高さに戻るのと同じです。ある点からある点までの電圧は、途中の抵抗ごとの電圧降下を足したものになります。

■ 直列・並列
直列: R₁+R₂、並列: 1/R=1/R₁+1/R₂(同じRが2本ならR/2)

■ 等電位の点
対称な位置の点は電位が等しく、その間の導線には電流が流れない(図(a)のi=0)

各選択肢について

• ① Ra=R/2が最小で最大ではない。Rb<Rc<Raは成り立たない。
• ② Rc=3R/4はRb=5R/8より大きいので、Rc<Rbとなる②は成り立たない。
• ③ Rcが最小となる関係だが、Rc=3R/4は3つの中で最大。
• ④ Ra=R/2が最大となる関係だが、Raは3つの中で最小。大小が逆。
• ⑤ Ra=R/2 < Rb=5R/8 < Rc=3R/4 と一致する。これが正答。

覚えるべきポイント

対称な回路は等電位の点を見つけて単純化し、キルヒホッフの電流則で電位を求めて、合成抵抗=電圧÷全電流を計算する。辺の中点を端子にすると、その端子は半辺の抵抗R/2を介してつながる。